Estimation des copules

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Une copule est une fonction qui relie les distributions marginales d'un vecteur aléatoire à sa distribution jointe. Le théorème de Sklar fonde toute la théorie : pour tout vecteur (X₁, X₂), il existe une copule C telle que F(x₁, x₂) = C(F₁(x₁), F₂(x₂)). Ce découplage entre marges et structure de dépendance est décisif : on peut choisir librement les distributions marginales, puis modéliser la dépendance séparément.

Les copules elliptiques (Gaussienne, Student-t) héritent de la géométrie des lois elliptiques. La copule Gaussienne paramètre la dépendance par une matrice de corrélation Σ, tandis que la copule de Student-t introduit des queues épaisses jointes via les degrés de liberté ν, capturant les coextrêmes que la copule Gaussienne ignore.

Les copules d'Archimède reposent sur un générateur φ convexe décroissant : C(u,v) = φ⁻¹(φ(u) + φ(v)). La copule de Clayton exhibe une dépendance de queue inférieure (coïncidence des chocs négatifs), Gumbel une dépendance de queue supérieure, et Frank une dépendance symétrique sans queue. Ces asymétries sont essentielles en gestion des risques financiers.

La mesure de concordance quantifie la dépendance sans hypothèse de linéarité. Le tau de Kendall τ = 4∫C dC − 1 et le rho de Spearman sont liés analytiquement au paramètre de la copule. L'estimation se fait par maximum de vraisemblance exact, méthode IFM (Inference for Margins) ou pseudo-vraisemblance. La sélection de modèle repose sur AIC, BIC et les tests d'adéquation (Cramér-von Mises, chi-deux).