Calculs Stochastiques

About This Course

Ce cours permet aux étudiants de maîtriser la formule d’Itô pour les semi-martingales continues et ses applications pour déterminer le prix à tout instant d’un produit dérivé. A cet effet, il aborde dans une première partie l’intégrale stochastique par rapport à une martingale continue et ensuite  dans le deuxième partie du cours, la formule d’Itô est démontrée en utilisant la notion de crochet d’une martingale continue.

Ainsi, à l’aide de la formule d’Itô, ce cours permet d’illustrer la formule d’intégration par partie de deux semi-martingales, les inégalités de Burkholder-Davis Gundy et le Théorème de Girsanov qui sont des outils fondamentaux pour la manipulation des semi-martingales continues.

Dans la troisième partie du cours, les Equations Différentielles Stochastiques (EDS) sont introduites et les conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients des EDS sont données pour obtenir l’existence et l’unicité de la solution grâce à la technique du point fixe. Ensuite, les notions de semi-groupe et de générateur infinitésimal d’une solution d’EDS sont présentées, ce qui permet de présenter dans des cas particulier les solutions d’EDS comme des processus de Markov. A cet effet, en écrivant le prix d’une action comme la solution d’une EDS, il est possible de déduire dans les cas particuliers que le prix d’un produit dérivé de cette action est solution d’une EDP qui s’écrit en fonction du générateur infinitésimal de la solution de l’EDS. Ainsi, en utilisant les outils de simulation des prix par Monte Carlo, il est possible de rapprocher les prix trouvés par la formule fermée (en utilisant la formule d’Itô) et par  la solution des EDP dans des cas particuliers. Ces simulations des prix par de différentes techniques permettent de renforcer le niveau des étudiants et leur démontrer l’utilité des  différentes théories abordées dans le cours.

La dernière partie du cours est dédiée aux apprenants qui s’orientent dans le domaine de la Recherche. Elle portes sur les Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSR). Comme pour les EDS, les conditions nécessaires et suffisantes seront fixées sur la condition terminale de l’EDSR ainsi que sur le coefficient de l’EDSR afin de prouver l’existence et l’unicité des solutions. Par la suite, les techniques numériques sont abordées pour résoudre une EDSR, ce qui permet de simuler le prix des produits dérivés tels que les options européennes.nclude your long course description here. The long course description should contain 150-400 words.

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